Técnica de conteo

concepto:

Mucha veces es fácil determinar cuantas cosas favorables y cosas totales hay en un experimento, pero en muchos otros experimentos no resulta ser tan sencillo y debemos emplear alguna técnica de conteo para determinar las cosas totales y favorables de un experimento

Técnicas de conteo:

Diagrama de árbol: nos sirve para representar todos los eventos posibles de un experimento, se establece una raíz y a su derecha se dibuja unas ramas o rama de cada uno de los eventos, al final de cada rama se escribe la cardinalidad de cada evento.                      Ejemplo: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1. seleccionar 3 niños 
2. seleccionar exactamente 2 niños y una niña
3. seleccionar 3 niñas  

Principio multiplicativo: Si una operación se puede realizar en "n" formas entonces las 2 pueden realizarse juntos en nxn formas.

principio aditivo: si una operación puede realizarse en "m" formas y otra en "n" formas y ambos no pueden realizarse juntos entonces el numero total de formas en las que puede realizarse es m+n.

• permutaciones: es un arreglo en donde todos los elementos de un conjunto o de una parte de ellos es importante el orden que se ocupa, formula =  

ejemplo: ¿cuantas palabras distintas de 6 letras se pueden formar con las letras a,b,c,d,e,f ?
 n= # de objetos distintos  R= cantidad de objetos que se toman ala vez se sustituye la formula  6!/(6-6)! = 720/ 0!= 720/1 = 720 

• combinaciones : dado un conjunto de "N" objetos distintos cualquier subconjunto no ordenado de tamaño "R" de esos objetos. sean N y R que pertenezcan a los numeros no negativos y ademas R-N entonces el # de formas de elegir R elementos de un conjunto de N objetos distintos sin importar el orden. 

• La función factorial: (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 

Vídeo de teoría de conjuntos

Probabilidad y teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Desde el punto de vista matemático un conjunto es una conexión especifica descrita con claridad y los miembros de conjunto son los elementos que la conforman.

Descripción de conjuntos

1. enumeración: ejemplo: A= { lunes, martes, miércoles, jueves,  viernes,  sábado, domingo}
2. comprensión: ejemplo: A= {días de la semana}
3. diagrama de ven: ejemplo
   

tipos de conjuntos o subconjuntos

• Conjunto universal: conjunto que tiene los elementos posibles para un problema particular en consideración se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
  Por ejemplo: 5 primeros números naturales el conjunto queda:
  
  
  U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
  

• Conjunto vació: Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. se representa por los símbolos: o { } Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 } P = { x / }

•  Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro. 
  
•  cardinalidad de un conjunto: se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.Ejemplos:
  W  =  { $, %, &, /, ª  }      El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 (  #  =  5 )

  Q =

  El conjunto Q está formado por 3 elementos

Operaciones con conjuntos

conjunto unión: sean 2 conjuntos A y B cualquiera, la unión de estos conjuntos son todas los elementos que están en y están en B. ejemplo: A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 
12 } A U B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

• intersección: sean 2 conjuntos A y B cualesquiera la intersección de ambos son los elementos que están tanto en el conjunto A tanto en el conjunto B. Ejemplo: Q={n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, o, s, r, b, v, y, z } , Q Ç P={ b, o, r, s, y }.

• complementos de dos conjuntos: el complemento del conjunto A es el conjunto de todos los elementos del universo que no están en A y esta definido. ejemplo : U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U

El complemento de A estará dado por: A'= { 2, 4, 6, 8 }

 

• diferencia de 2 conjuntos: Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B. ejemplo       A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i } A - B= { d }

Medidas de tendencia central y dispersión

Medidas de tendencia central

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

• media: también conocido como valor promedio, valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. 
• mediana: valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. 
• moda: valor que mas se repite en una lista de datos, se presenta con mayor frecuencia, puede haber 2 modas (bimodal) o mas de dos (multimodal) en una lista de datos. 

                                          dispersión

Nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

• rango: diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística. R= Xmax - Xmin 

• desviación media: diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética Di = x - x 

• Varianza: es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. 

 

• desviación típica o desviación estándar: es la medida de dispersión mas utilizada ya que se expresa en las mismas unidades que los datos originales, es la raíz cuadrada de la varianza.

Prescentación de datos

Distribución de frecuencias y gráficas

¿QUE ES? Se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en categorías que indican el número de observaciones en cada categoría. Proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase.

Tipos de frecuencias:

• frecuencia absoluta: número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. 
• frecuencia relativa: cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. 
• frecuencia acumulada: cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. 

Tipos de presentación:

• Escrita: Se usa cuando una serie de datos tiene pocos valores, por lo cual resulta apropiada la palabra escrita como forma de escribir el comportamiento de los datos; se resalta la importancia de las informaciones principales. 

• Tabular: Cuando los datos estadísticos se presentan a través de un conjunto de filas y de columnas que responden a un ordenamiento lógico; es de gran eso e importancia para el uso e importancia para el usuario ya que constituye la forma más exacta de presentar las informaciones. EJEMPLO:                                     
• Histograma: Gráfica de columnas que presenta una distribución de frecuencias de datos continuos, para trazar el histograma en el eje de las "X" se ubica la marca de clase y en eje de la "Y" la frecuencia absoluta o relativa. 

• Polígono de frecuencias: Gráfica de linea que sirve para presentar la distribución de frecuencia de datos continuos, se requiere la marca de clase y la frecuencia relativa o absoluta.

• Ojiva: Gráfica de linea en donde se presenta la frecuencia relativa acumulada, para trazar la ojiva se requiere la marca de clase en el eje "X" y la frecuencia cumulada en el eje "Y".

• Diagrama de barras: Representación gráfica de un conjunto de datos o valores, conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden orientarse verticalmente u horizontalmente. 

• Diagrama circular: se utilizan para representar porcentajes y proporciones. no tiene ejes x o y.Se utilizan en aquellos casos donde interesa no sólo mostrar el número de veces que se da una característica o atributo de manera tabular sino más bien de manera gráfica, de tal manera que se pueda visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total.

Recoleccion de datos

Tipo de variables

• variables cualitativas: son aquellas que están definidas por una característica no numérica del fenómeno que se estudia.
• variables cuantitativas: se describe en forma numérica de la característica que se estudia.
• Variables discretas: son las que asumen ciertas valores después de haber realizado un conteo.
• Variables continuas: surgen de un proceso de medición y pueden asumir cualquier valor en un rango especifico

¿que es un censo?

El termino censo se refiere obtención de datos de cada uno de los miembros que conforman una población

¿que es un muestreo?

Es un conjunto de técnicas empleadas para seleccionar la mejor muestra posible.

Métodos de muestreo

• Muestra no probabilistica: Los elementos se eligen sin tener en cuenta su probabilidad de ocurrencia, es decir,  sin tener en cuenta que suceda cierto resultado.
  
• Muestra probabilistica: Los elementos que la componen se elijen de acuerdo con las probabilidades de ocurrencia.
  
• Muestreo aleatorio simple: Es la técnica del muestreo mas elemental, la  muestra obtenida resulta de una selección hecha de tal manera que a cada elemento de la población tiene la misma oportunidad (probabilidad).
  
• Muestreo aleatorio sistemático: Se divide el tamaño de la población entre el numero de muestras y el resultado obtenido se redondea al entero mas cercano, para seleccionar la muestra se elije al azar el 1er elemento y los siguientes se escogen cada k elementos
  
  .
• Muestreo aleatorio estratificado:  Se utiliza cuando la población esta dividida en grupos llamados estratos, con cierta característica, así se garantiza cada miembro de la población este en uno solo de los estratos formados. Después se toma una muestra de cada estrato y se hacen comparaciones entre ellas.
  
• Muestreo por conglomerado: consiste en dividir una población en grupos usando cierto tipo de limite.
  

¿ubícate?

¿ De donde viene la estadística?

En la antigüedad los egipcios hacían censos de las personas y de los bienes inmuebles que permitían conocer la distribución de las propiedades para volver a restituirlos después de la inundación anual que provoca el río Nilo. En la biblia hay referencias a censos del pueblo judío. Los griegos y los romanos hacían censos de personas y de propiedades.

Un economista y profesor universitario llamado Gottfried Achenwall (prusiano, 1719-1772) fue quien forjó la palabra "estadística" con el significado de "ciencia de las cosas que pertenecen al Estado". Achenwall dijo que "la política enseña cómo deben ser los Estados, la Estadística explica cómo son realmente".

¿ De donde viene la probabilidad?

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo.

La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

Estadística y probabilidad

¿Qué es estadística?

Es una ciencia que brinda los instrumentos (métodos y técnicas) para recopilar, organizar y presentar, analizar e interpretar información que apoya los consensos de la toma de decisiones y cualquier ámbito.

¿Qué es probabilidad?

Es un concepto dado que se usa en la vida diaria para indicar cuan posible es que se presente u ocurra un evento en el futuro, conocer algo o mucho nos ayuda a tomar decisiones, es por ello que la importancia de estudiar la probabilidad y como medirla así mismo como emplearla para hacer inferencias.